Aufgabe 3.10: Fehlergrößenberechnung

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Nur teilweise ausgewertetes Trellis

Im  Theorieteil  zu diesem Kapitel wurde die Berechnung der Fehlergrößen  ${\it \Gamma}_i(S_{\mu})$  ausführlich behandelt, die auf der Hamming–Distanz  $d_{\rm H}(\underline{x}\hspace{0.05cm}', \ \underline{y}_i)$  zwischen den möglichen Codeworten  $\underline{x}\hspace{0.05cm}' ∈ \{00, \, 01, \, 10, \, 11\}$  und dem zum Zeitpunkt  $i$  empfangenen 2–Bit–Worten  $\underline{y}_i$  basiert.

Die Aufgabe beschäftigt sich genau mit dieser Thematik. In nebenstehender Grafik

• ist das betrachtete Trellis dargestellt – gültig für den Code mit Rate  $R = 1/2$,  Gedächtnis  $m = 2$  sowie  $\mathbf{G}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$,
• sind die Empfangsworte  $\underline{y}_1 = (01), \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm} , \ \underline{y}_7 = (11)$  in den Rechtecken angegeben,
• sind alle Fehlergrößen  ${\it \Gamma}_0(S_{\mu}), \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm} , \ {\it \Gamma}_4(S_{\mu})$  bereits eingetragen.

Beispielsweise ergibt sich die Fehlergröße  ${\it \Gamma}_4(S_0)$  mit  $\underline{y}_4 = (01)$  als das Minimum der beiden Vergleichswerte

• ${\it \Gamma}_3(S_0) + d_{\rm H}((00), \ (01)) = 3 + 1 = 4$, und
• ${\it \Gamma}_3(S_2) + d_{\rm H}((11), \ (01)) = 2 + 1 = 3$.

Der überlebende Zweig – hier von  ${\it \Gamma}_3(S_2)$  nach  ${\it \Gamma}_4(S_0)$  – ist durchgezogen gezeichnet, der eliminierte Zweig von  ${\it \Gamma}_3(S_0)$  nach  ${\it \Gamma}_4(S_0)$  punktiert. Rote Pfeile stehen für das Informationsbit $u_i = 0$, blaue Pfeile für $u_i = 1$.

In der Teilaufgabe (4) soll der Zusammenhang zwischen

• der  ${\it \Gamma}_i(S_{\mu})$–Minimierung und
• der  ${\it \Lambda}_i(S_{\mu})$–Maximierung

herausgearbeitet werden. Hierbei bezeichnet man die Knoten  ${\it \Lambda}_i(S_{\mu})$  als Metriken, wobei sich der Metrikzuwachs gegenüber den Vorgängerknoten aus dem Korrelationswert  $〈\underline{x}_i\hspace{0.05cm}', \, \underline{y}_i 〉$  ergibt. Näheres zu dieser Thematik finden Sie auf den folgenden Theorieseiten:

• Zusammenhang zwischen Hamming–Distanz und Korrelation,
• Viterbi–Algorithmus, basierend auf Korrelation und Metriken,
• Viterbi–Entscheidung bei nicht–terminierten Faltungscodes.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel  Decodierung von Faltungscodes.
• Vorerst nicht betrachtet wird die Suche der überlebenden Pfade. Damit beschäftigt sich für das gleiche Beispiel die spätere  Aufgabe 3.11.

Fragebogen

1

Wie lauten die Fehlergrößen für den Zeitpunkt  $i = 5$?

${\it \Gamma}_5(S_0) \ = \ $

${\it \Gamma}_5(S_1) \ = \ $

${\it \Gamma}_5(S_2) \ = \ $

${\it \Gamma}_5(S_3) \ = \ $

2

Wie lauten die Fehlergrößen für den Zeitpunkt  $i = 6$?

${\it \Gamma}_6(S_0) \ = \ $

${\it \Gamma}_6(S_2) \ = \ $

3

Welcher Endwert ergibt sich bei diesem Trellis, basierend auf  ${\it \Gamma}_i(S_{\mu})$?

	Es gilt  ${\it \Gamma}_7(S_0) = 3$.
	Dieser Endwert lässt auf eine fehlerfreie Übertragung schließen.
	Dieser Endwert lässt auf drei Übertragungsfehler schließen.

4

Welche Aussagen sind für die  ${\it \Lambda}_i(S_{\mu})$–Auswertung zutreffend?

	Die Metriken  ${\it \Lambda}_i(S_{\mu})$  liefern gleiche Informationen wie  ${\it \Gamma}_i(S_{\mu})$.
	Für alle Knoten gilt  ${\it \Lambda}_i(S_{\mu}) = 2 \cdot \big [i \, –{\it \Gamma}_i(S_{\mu})\big ]$.
	Für die Metrikzuwächse gilt  $〈 \underline{x}_i', \, \underline{y}_i 〉 ∈ \{0, \, 1, \, 2\}$.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Bei allen Knoten $S_{\mu}$ muss eine Entscheidung zwischen den beiden ankommenden Zweigen getroffen werden. Ausgewählt wird dann jeweils der Zweig, der zur (minimalen) Fehlergröße ${\it \Gamma}_5(S_{\mu})$ geführt hat. Mit $\underline{y}_5 = (01)$ erhält man:

$${\it \Gamma}_5(S_0) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}{\rm min} \left [{\it \Gamma}_{4}(S_0) + d_{\rm H} \big ((00)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big )\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{4}(S_2) + d_{\rm H} \big ((11)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big ) \right ] ={\rm min} \left [ 3+1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 2+1 \right ] \hspace{0.15cm}\underline{= 3}\hspace{0.05cm},$$

$${\it \Gamma}_5(S_1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}{\rm min} \left [{\it \Gamma}_{4}(S_0) + d_{\rm H} \big ((11)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big )\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{4}(S_2) + d_{\rm H} \big ((00)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big ) \right ] ={\rm min} \left [ 3+1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 2+1 \right ] \hspace{0.15cm}\underline{= 3}\hspace{0.05cm},$$

$${\it \Gamma}_5(S_2) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}{\rm min} \left [{\it \Gamma}_{4}(S_1) + d_{\rm H} \big ((10)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big )\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{4}(S_3) + d_{\rm H} \big ((01)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big ) \right ] = {\rm min} \left [ 3+2\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 2+0 \right ] \hspace{0.15cm}\underline{= 2}\hspace{0.05cm},$$

$${\it \Gamma}_5(S_3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}{\rm min} \left [{\it \Gamma}_{4}(S_1) + d_{\rm H} \big ((01)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big )\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{4}(S_3) + d_{\rm H} \big ((10)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big ) \right ] ={\rm min} \left [ 3+0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 2+2 \right ] \hspace{0.15cm}\underline{= 3}\hspace{0.05cm}.$$

Die linke Grafik zeigt das endgültig ausgewertete ${\it \Gamma}_i(S_{\mu})$–Trellis.

Ausgewertete Trellisdiagramme

(2)  Zum Zeitpunk $i = 6$ ist bereits die Terminierung wirksam und es gibt nur noch zwei Fehlergrößen. Für diese erhält man mit $\underline{y}_6 = (01)$:

$${\it \Gamma}_6(S_0) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}{\rm min} \left [{\it \Gamma}_{5}(S_0) + d_{\rm H} \big ((00)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big )\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{5}(S_2) + d_{\rm H} \big ((11)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big ) \right ] ={\rm min} \left [ 3+1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 2+1 \right ] \hspace{0.15cm}\underline{= 3}\hspace{0.05cm},$$

$${\it \Gamma}_6(S_2) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}{\rm min} \left [{\it \Gamma}_{5}(S_1) + d_{\rm H} \big ((10)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big )\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{5}(S_3) + d_{\rm H} \big ((01)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (01) \big ) \right ] ={\rm min} \left [ 3+2\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 3+0 \right ] \hspace{0.15cm}\underline{= 3}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Der Endwert ergibt sich zu

$${\it \Gamma}_7(S_0) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}{\rm min} \left [{\it \Gamma}_{6}(S_0) + d_{\rm H} \big ((00)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (11) \big )\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{6}(S_2) + d_{\rm H} \big ((11)\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} (11) \big ) \right ] ={\rm min} \left [ 3+2\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 3+0 \right ] \hspace{0.15cm}\underline{= 3}\hspace{0.05cm}.$$

Beim BSC–Modell kann man aus ${\it \Gamma}_7(S_{\mu}) = 3$ darauf schließen, dass drei Übertragungsfehler aufgetreten sind   ⇒   Lösungsvorschläge 1 und 3.

(4)  Richtig sind die Aussagen 1 und 2:

• Die Maximierung der Metriken ${\it \Lambda}_i(S_{\mu})$ entsprechend der rechten Skizze in obiger Grafik liefert das gleiche Ergebnis wie die links dargestellte Minimierung der Fehlergrößen ${\it \Gamma}_i(S_{\mu})$. Auch die überlebenden und gestrichenen Zweige sind in beiden Grafiken identisch.
• Die angegebene Gleichung ist ebenfalls richtig, was hier nur am Beispiel $i = 7$ gezeigt wird:

$${\it \Lambda}_7(S_0)) = 2 \cdot \big [i - {\it \Gamma}_7(S_0) \big ] = 2 \cdot \big [7 - 3 \big ] \hspace{0.15cm}\underline{= 8}\hspace{0.05cm}.$$

• Die letzte Aussage ist falsch. Vielmehr gilt  $〈x_i', \, y_i〉 ∈ \{–2, \, 0, \, +2\}$.

Hinweis: In der Aufgabe 3.11 wird für das gleiche Beispiel die Pfadsuche demonstiert, wobei von den ${\it \Lambda}_i(S_{\mu})$–Metriken gemäß der rechten Grafik ausgegangen wird.